فعالیت ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - تعریف ریشه‌ی چهارم
۱. مانند ریشه‌های دوم و سوم می‌توان ریشه‌ی چهارم را تعریف کرد. با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی داریم:
$$2^4=16 \Leftrightarrow \text{ریشه‌های چهارم } 16 \Rightarrow 2 \text{ و } -2$$
$$(-2)^4=16$$
$$5^4=625 \Leftrightarrow \text{ریشه‌های چهارم } 625 \Rightarrow 5 \text{ و } -5$$
$$(-5)^4=625$$
آیا $$-16$$ ریشه‌ی چهارم دارد؟ آیا عددی مثبت یا منفی وجود دارد که وقتی به توان $4$ برسد، برابر $$-16$$ شود؟
اکنون عبارت را کامل کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 50 ریاضی دهم - تعریف ریشه‌ی چهارم
سلام! این فعالیت به شما کمک می‌کند تا مفهوم **ریشه‌های زوج** (مانند ریشه‌ی دوم و چهارم) را درک کنید و محدودیت‌های آن‌ها را بشناسید.
### **تحلیل ریشه‌های زوج و اعداد منفی**
**سوال:** آیا $$-16$$ ریشه‌ی چهارم دارد؟ آیا عددی مثبت یا منفی وجود دارد که وقتی به توان $4$ برسد، برابر $$-16$$ شود؟
**توضیح مفهومی:**
1. **توان زوج عدد مثبت:** اگر یک عدد مثبت (مثلاً $2$) را به توان $4$ برسانیم، نتیجه همواره **مثبت** است: $$(+2)^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = +16$$
2. **توان زوج عدد منفی:** اگر یک عدد منفی (مثلاً $-2$) را به توان $4$ برسانیم، نتیجه همواره **مثبت** است (زیرا تعداد منفی‌ها زوج است و یکدیگر را خنثی می‌کنند): $$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = (+4) \times (+4) = +16$$
**نتیجه‌گیری:** در مجموعه **اعداد حقیقی** (اعدادی که تا این مرحله با آن‌ها آشنا هستید)، **هیچ عددی** وجود ندارد که وقتی به توان زوج (مانند $2$، $4$، $6$، و...) برسد، نتیجه **منفی** شود.
* پس، برای هر عدد حقیقی $x$، داریم: $$x^4 \ge 0$$
در نتیجه، معادله‌ی $x^4 = -16$ در مجموعه‌ی اعداد حقیقی **جواب ندارد**.
### **تکمیل عبارت**
**پاسخ به سوالات:**
* **آیا $-16$ ریشه‌ی چهارم دارد؟** \mathbf{خیر}
* **آیا عددی مثبت یا منفی وجود دارد که وقتی به توان $4$ برسد، برابر $-16$ شود؟** \mathbf{خیر}
**نکته نهایی و مهم:** به طور کلی، **ریشه‌ی $n$اُم زوج** (مانند $\sqrt[4]{A}$ یا $\sqrt{A}$) از یک **عدد منفی** (یعنی $A < 0$) در مجموعه اعداد حقیقی **تعریف نشده** است.
